Jika suku pertama, ke-3 dan ke-6 suatu barisan aritmetika masing-masing adalah \(b-a, a, 36\) serta jumlah 9 suku pertama barisan tersebut adalah 180, maka beda barisan tersebut adalah…
- 18
- 16
- 12
- 9
- 6
(Soal SBMPTN 2014)
Pembahasan:
Misalkan suku pertama \( U_1 = x \) dan beda \( b = y \) sehingga berlaku:
\begin{aligned} U_1 &= x = b-a \\[8pt] U_3 &= x+2y \Leftrightarrow a = x+2y \\[8pt] y &= \frac{a-x}{2} = \frac{a-(b-a)}{2} \\[8pt] &= \frac{2a-b}{2} \\[8pt] U_6 &= x+5y \\[8pt] 36 &= (b-a)+5\left( \frac{2a-b}{2} \right) \\[8pt] 72 &= 2b-2a+5(2a-b) \\[8pt] 72 &= 2b-2a+10a-5b \\[8pt] 72 &= 8a-3b \qquad \cdots (1) \end{aligned}
Dari soal diketahui jumlah 9 suku pertama adalah 180, sehingga diperoleh:
\begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\[8pt] S_9 &= \frac{9}{2}(2x+(9-1)y) \\[8pt] 180 &= \frac{9}{2}(2x+8b) \Leftrightarrow 180 = 9(x+4b) \\[8pt] 20 &= x+4b \\[8pt] 20 &= (b-a) + 4 \left( \frac{2a-b}{2} \right) \\[8pt] 20 &= b-a+(4a-2b) \\[8pt] 20 &= 3a-b \qquad \cdots (2) \end{aligned}
Dari persamaan (1) dan (2), kita peroleh:
\begin{aligned} 8a-3b = 72 &\Leftrightarrow 8a-3b = 72 \\[8pt] 3a-b = 20 &\Leftrightarrow 9a-3b = 60 \qquad (-) \\[20pt] \hline &\Leftrightarrow -a = 12 \\[8pt] &\Leftrightarrow a = -12 \\[8pt] a = -12 &\Leftrightarrow 3a-b = 20 \\[8pt] &\Leftrightarrow -36-b = 20 \\[8pt] &\Leftrightarrow b=-56 \\[20pt] \hline \text{beda (y)} = \frac{2a-b}{2} &\Leftrightarrow y = \frac{2(-12)-(-56)}{2} \\[8pt] &\Leftrightarrow y = \frac{-24+56}{2} = \frac{32}{2} \\[8pt] &\Leftrightarrow y = 16 \end{aligned}
Jawaban B.